Question

4．給出定義：若函數f（x）在D上可導，即f′（x）存在，且導函數f′（x）在D上也可導，則稱f（x）在D上存在二階導函數，記f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數．以下四個函數在$（{0，\frac{π}{2}}）$上是凸函數的是①③④．
①f（x）=sinx+cosx②f（x）=-xe^-x③f（x）=lnx-2x④f（x）=-x³+2x-1．

Answer 1

分析 根據定義，分別求導，判斷即可．

解答 解：對于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f″（x）＜0恒成立；
對于②，f″（x）=（2+x）•e^x在x∈（0，$\frac{π}{2}$）時f″（x）＞0恒成立，
對于③，f″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，在x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f″（x）＜0恒成立；
對于④，f″（x）=-6x，在x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f″（x）＜0恒成立；
故是凸函數的是①③④
故答案為：①③④

點評 本題主要考查函數的求導公式．屬基礎題．