Question

15．若直線ax+by-1=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過曲線y=2+sinπx（0＜x＜2）的對稱中心，則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值為8．

Answer 1

分析 曲線y=2+sinπx（0＜x＜2）的對稱中心為：（1，2），可得直線a+2b=1（a＞0，b＞0），利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：曲線y=2+sinπx（0＜x＜2）的對稱中心為：（1，2），
∴直線a+2b=1（a＞0，b＞0），
則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+2b）$（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}）$=4+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{4a}{b}×\frac{b}{a}}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=$\frac{2}{5}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的對稱性、基本不等式的性質(zhì)、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．