Question

10．已知過定點P（2，0）的直線l與曲線y=$\sqrt{2-x^2}$相交于A、B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大時，直線的傾斜角可以是：①30°；②45°；③60°；④120°⑤150°．其中正確答案的序號是⑤．（寫出所有正確答案的序號）

Answer 1

分析 當△AOB面積取最大值時，OA⊥OB，圓心O（0，0）到直線直線l的距離為1，由此能求出直線l的斜率．

解答 解：當△AOB面積取最大值時，OA⊥OB，
∵過定點P（2，0）的直線l與曲線y=$\sqrt{2-x^2}$相交于A、B兩點，
∴圓心O（0，0），半徑r=$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴圓心O（0，0）到直線直線l的距離為1，
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2，不合題意；
當直線l的斜率存在時，直線l的方程為y=k（x-2），
圓心（0，0）到直線l的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由題意可知當△AOB的面積取最大時，直線的傾斜角是150°．
故答案為⑤．

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關系及其三角形面積的計算，屬于中檔試題，著重考查了數形結合思想及轉化與化歸思想的應用，在與圓有關的問題解答中，特別注意借助圖形轉化為與圓心的關系，是解答的一種常見方法，本題的解答當△AOB面積取最大值時，OA⊥OB，此時圓心O到直線的距離為1是解答本題的關鍵．