Question

8．已知拋物線y²=2x上兩點(diǎn)A，B滿足A在x軸上方，B在x軸下方，O是坐標(biāo)原點(diǎn)且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}=3$，則線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程（　　）

• A． y²=2x-12
• B． y²=2x+4
• C． y²=x+1
• D． y²=x-3

Answer 1

分析 根據(jù)條件可設(shè)$A（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}，{y}_{1}），B（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}，{y}_{2}），M（x，y）$，從而由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=3$得出$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4}+{y}_{1}{y}_{2}=3$，從而可解出y₁y₂=-6，從而有$\left\{\begin{array}{l}{x=（\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）+3}\\{y=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}\end{array}\right.$，這樣即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的方程．

解答 解：設(shè)$A（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}，{y}_{1}），B（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}，{y}_{2}）$，M（x，y），則：
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{4}+{y}_{1}{y}_{2}=3$；
即$（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}+4{y}_{1}{y}_{2}-12=0$；
解得y₁y₂=-6，或2；
∵y₁，y₂異號；
∴y₁y₂=-6；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}=\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{4}+3}\\{y=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}\end{array}\right.$；
∴x=y²+3，即y²=x-3．
故選：D．

點(diǎn)評 考查拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的設(shè)法，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，一元二次方程的解法，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，完全平方公式的運(yùn)用．