Question

已知底面邊長為

2

，各側面均為直角三角形的正三棱錐P-ABC的四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：底面邊長為

2

，各側面均為直角三角形的正三棱錐可以看作是正方體的一個角，故此正三棱錐的外接球即此正方體的外接球，由此求出正方體的體對角線即可得到球的直徑，表面積易求．

解答： 解：由題意知此正三棱錐的外接球即是相應的正方體的外接球，此正方體的面對角線為

2

，邊長為1．
正方體的體對角線是

3

．
故外接球的直徑是

3

，半徑是

3

2

．
故其表面積是4×π×（

3

2

）²=3π．
故答案為：3π．

點評：本題考查球內接多面體，解題的關鍵是找到球的直徑與其內接多面體的量之間的關系，由此關系求出球的半徑進而得到其表面積．