Question

已知2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-a能被25整除，求正整數a的最小值．

Answer 1

考點：整除的基本性質

專題：計算題

分析：利用二項式定理展開，并對n討論即可得出．

解答： 解：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-a=12ⁿ+5n-a=（10+2）ⁿ+5n-a=10ⁿ+

∁

1 n

10n-1×2+…+

∁

n-2 n

10²×2^n-2+

∁

n-1 n

×10×2n-1+2ⁿ+5n-a
=25M+5n（2ⁿ+1）-a，（M為整數）．
當n=1時，2³×3¹+5-a=29-a，此時a=29-25k（k∈Z），k=1時，a=4．
當n≥2時，若2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-a能被25整除，則5n（2ⁿ+1）-a必須能夠被25整除．
設5n（2ⁿ+1）-a=25k，則a=5n（2ⁿ+1）-25k．當n=2時，a=25×2-25k，k=1時，a=25．
綜上可得：正整數a的最小值是4．

點評：本題考查了二項式定理的應用、整除的理論、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．