Question

已知函數f（x）=3sin²x+2

3

sinxcosx+5cos²x．
（1）求函數f（x）的周期和增區間；
（2）已知f（α）=5，0＜α＜π，求tanα的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得解析式f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4，從而可求函數f（x）的周期和增區間；
（2）由f（α）=2sin（2α+

π

6

）+4=5，根據萬能公式可解得tanα的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=3sin²x+2

3

sinxcosx+5cos²x
=

3

2

（1-cos2x）+

3

sin2x+

5

2

（1+cos2x）
=4+

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）+4
∴T=

2π

2

=π．
∴令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函數f（x）的增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）∴f（α）=2sin（2α+

π

6

）+4=5，可解得sin（2α+

π

6

）=

1

2

，即有

3

sin2α+cos2α=1
∴可得

2 3 tanα

1+tan2α

+

1-tan2α

1+tan2α

=1，從而解得tanα=

3

．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，正弦定理的應用，三角函數的圖象與性質，屬于基本知識的考查．