Question

已知△ABC的外接圓的圓心為O，滿足：

CO

=m

CA

+n

CB

，4m+3n=2，且|

CA

|=4

3

，|

CB

|=6，則

CA

•

CB

=（　�。�

• A、36
• B、24
• C、24

  3

• D、12

  3

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：根據已知條件，在

CO

=m

CA

+n

CB

兩邊分別乘以向量

CA

，

CB

便可得到，

24=48m+n CA • CB ① 18=36n+m CA • CB ②

，所以根據4m+3n=2，①+②，和①×3+②×4得

(m+n) CA • CB =18 72(m+n)+ CA • CB =72

，所以由這兩式即可求出

CA

•

CB

．

解答： 解：如圖，

根據已知條件：

CO • CA =m CA 2+n CA • CB CO • CB =m CA • CB +n CB 2

；
∴

2 3 •4 3 =48m+n CA • CB 3•6=36n+m CA • CB

；
∴

24=48m+n CA • CB ① 18=36n+m CA • CB ②

；
∴①+②得，42=12（4m+3n）+（m+n）

CA

•

CB

=24+(m+n)

CA

•

CB

；
∴(m+n)

CA

•

CB

=18   ③；
①×3+②×4得，144=144（m+n）+（4m+3n）

CA

•

CB

=144（m+n）+2

CA

•

CB

；
∴72(m+n)+

CA

•

CB

=72   ④；
∴聯立③④可

CA

•

CB

=36．
故選A．

點評：考查向量數量積的計算公式，三角形外心的概念，直角三角形的邊角關系，以及對條件4m+3n=2的靈活運用．