Question

設f為實系數三次多項式函數﹒已知五個方程式的相異實根個數如下表所述﹕

方程式	相異實根的個數
f（x）-20=0	1
f（x）-10=0	3
f（x）=0	3
f（x）+10=0	1
f（x）+20=0	1

關于f的極小值a﹐試問下列哪一個選項是正確的（　　）

• A、-20＜a＜-10
• B、-10＜a＜0
• C、0＜a＜10
• D、10＜a＜20

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：方程f（x）-k=0的相異實根數可化為方程f（x）=k的相異實根數，方程f（x）=k的相異實根數可化為函數y=f（x）與水平線y=k兩圖形的交點數﹒則依據表格可畫出其圖象的大致形狀，從而判斷極小值的取值范圍．

解答： 解﹕方程f（x）-k=0的相異實根數可化為方程f（x）=k的相異實根數，
方程f（x）=k的相異實根數可化為函數y=f（x）與水平線y=k兩圖形的交點數﹒
依題意可得兩圖形的略圖有以下兩種情形﹕
（1）當f（x）的最高次項系數為正時，
 
（2）當f（x）的最高次項系數為負時，

因極小值點a位于水平線y=0與y=-10之間﹐
所以其y坐標α（即極小值）的范圍為-10＜α＜0﹒
故選：B﹒

點評：本題考查了方程的根與函數的圖象的應用及數形結合思想的應用，屬于中檔題．