Question

已知f（x）為一次函數，且f（x）=x

∫

2 0

f（x）dx+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求直線y=f（x）與曲線y=xf（x）圍成平面圖形的面積．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,定積分,定積分在求面積中的應用

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）設f（x）=kx+b（k≠0），代入f（x）=x

∫

2 0

f（x）dx+1由系數相等求得k，b的值，則函數解析式可求；
（2）由y=xf（x）=x（-2x+1）=-2x²+x，聯立

y=-2x+1 y=-2x2+x

求得交點坐標，然后求函數xf（x）-f（x）的定積分可得直線y=f（x）與曲線y=xf（x）圍成平面圖形的面積．

解答： 解：（1）設f（x）=kx+b（k≠0），
代入f（x）=x

∫

2 0

f（x）dx+1，得kx+b=x

∫

2 0

(kx+b)dx+1，
即kx+b=x•(

1

2

kx2+bx)

|

2 0

+1=（2k+2b）x+1，
∴

k=2k+2b b=1

，解得：

k=-2 b=1

．
∴f（x）=-2x+1；
（2）y=xf（x）=x（-2x+1）=-2x²+x，
聯立

y=-2x+1 y=-2x2+x

，解得x₁=

1

2

，x₂=1．
∴直線y=f（x）與曲線y=xf（x）圍成平面圖形的面積：
S=

∫

1 1 2

(-2x2+3x-1)dx=(-

2

3

x3+

3

2

x2-x)

|

1 1 2

=

1

24

．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了利用微積分基本定理求曲邊梯形的面積，是中檔題．