Question

18．已知函數$f（x）=\frac{{{x^2}+a}}{x}$（常數a∈R）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若f（1）=2，證明函數f（x）在（1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，利用奇函數的定義證明即可；
（2）求出a，利用函數單調性的定義進行證明．

解答 解：（1）f（x）為奇函數，其的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）．
證明：∵$f（{-x}）=\frac{{{x^2}+a}}{-x}=-\frac{{{x^2}+a}}{x}=-f（x）$，∴f（x）為奇函數．
（2）證明：由f（1）=2，得a=1．取${x_2}＞{x_1}＞1，f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$，$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-（{{x_2}+\frac{1}{x_2}}）=（{{x_1}-{x_2}}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數．

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．