Question

10．由n（n≥2）個不同的數構成的數列a₁，a₂，…a_n中，若1≤i＜j≤n時，a_j＜a_i（即后面的項a_j小于前面項a_i），則稱a_i與a_j構成一個逆序，一個有窮數列的全部逆序的總數稱為該數列的逆序數．如對于數列3，2，1，由于在第一項3后面比3小的項有2個，在第二項2后面比2小的項有1個，在第三項1后面比1小的項沒有，因此，數列3，2，1的逆序數為2+1+0=3；同理，等比數列$1，-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，-\frac{1}{8}$的逆序數為4．
（1）計算數列${a_n}=-2n+19（1≤n≤100，n∈{N^*}）$的逆序數；
（2）計算數列${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{（{\frac{1}{3}}）^n}，n為奇數\\-\frac{n}{n+1}，n為偶數\end{array}\right.$（1≤n≤k，n∈N^*）的逆序數；
（3）已知數列a₁，a₂，…a_n的逆序數為a，求a_n，a_n-1，…a₁的逆序數．

Answer 1

分析 （1）由{a_n}為單調遞減數列，可得逆序數為99+98+…+1．
（2）當n為奇數時，a₁＞a₃＞…＞a_2n-1＞0．當n為偶數時：0＞a₂＞a₄＞…＞a_2n．可得逆序數．
（3）在數列a₁，a₂，…a_n中，若a₁與后面n-1個數構成p₁個逆序對，則有（n-1）-p₁不構成逆序對，可得在數列a_n，a_n-1，…a₁中，逆序數為（n-1）-p₁+（n-2）-p₂+…+（n-n）-p_n．

解答 解：（1）∵{a_n}為單調遞減數列，∴逆序數為$99+98+…+1=\frac{（99+1）×99}{2}=4950$．
（2）當n為奇數時，a₁＞a₃＞…＞a_2n-1＞0．
當n為偶數時：
$\begin{array}{l}{a_n}-{a_{n-2}}=-\frac{n}{n+1}+\frac{n-2}{n-1}（n≥4）\\=\frac{-2}{{{n^2}-1}}\\=\frac{-2}{（n+1）（n-1）}＜0\end{array}$
∴0＞a₂＞a₄＞…＞a_2n．
當k為奇數時，逆序數為$（k-1）+（k-3）+…+2+\frac{k-3}{2}+\frac{k-5}{2}+…+1=\frac{{3{k^2}-4k+1}}{8}$；
當k為偶數時，逆序數為$（k-1）+（k-3）+…+1+\frac{k-2}{2}+\frac{k-4}{2}+…+1=\frac{{3{k^2}-2k}}{8}$．
（3）在數列a₁，a₂，…a_n中，若a₁與后面n-1個數構成p₁個逆序對，
則有（n-1）-p₁不構成逆序對，所以在數列a_n，a_n-1，…a₁中，
逆序數為$（n-1）-{p_1}+（n-2）-{p_2}+…+（n-n）-{p_n}=\frac{n（n-1）}{2}-a$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、新定義逆序數，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．