Question

【題目】已知f（x）=x2+3x，若|x﹣a|≤1，則下列不等式一定成立的是（ ）
A.|f（x）﹣f（a）|≤3|a|+3
B.|f（x）﹣f（a）|≤2|a|+4
C.|f（x）﹣f（a）|≤|a|+5
D.|f（x）﹣f（a）|≤2（|a|+1）2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵|x﹣a|≤1，∴a﹣1≤x≤a+1，

∵f（x）是二次函數，

∴f（x）在區間[a﹣1，a+1]上單調時，|f（x）﹣f（a）|取得最大值為|f（a+1）﹣f（a）|或|f（a﹣1）﹣f（a）|，

而|f（a+1）﹣f（a）|=|（a+1）2+3（a+1）﹣a2﹣3a）|=|2a+4|≤2|a|+4，

|f（a﹣1）﹣f（a）|=|（a﹣1）2+3（a﹣1）﹣a2﹣3a|=|﹣2a﹣2|=|2a+2|≤2|a|+2．

∴|f（x）﹣f（a）|≤2|a|+4，

故選B．

【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)．