Question

設橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率e＝，右焦點到直線＝1的距離d＝，O為坐標原點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明，點O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值．

Answer 1

（1）＝1（2）

(1)由e＝得＝，即a＝2c，∴b＝c.
由右焦點到直線＝1的距離為d＝，＝1化為一般式：bx＋ay－ab＝0得＝，解得a＝2，b＝.
所以橢圓C的方程為＝1.
(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋m.與橢圓＝1聯(lián)立消去y，得(4k²＋3)x²＋8kmx＋(4m²－12)＝0.由根與系數(shù)的關系得x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.
∵OA⊥OB，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，∴x₁x₂＋(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝0，即(k²＋1)x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝0，
∴(k²＋1) －＋m²＝0.
整理得7m²＝12(k²＋1)，所以O到直線AB的距離d＝＝＝ (為定值)．
當直線AB斜率不存在時，可求出直線AB方程為x＝±，則點O到直線AB的距離為 (定值)
∵OA⊥OB，∴OA²＋OB²＝AB²≥2OA·OB，當且僅當OA＝OB時取“＝”，由直角三角形面積公式得：
d·AB＝OA·OB.
∵OA·OB≤，∴d·AB≤.
∴AB≥2d＝，故當OA＝OB時，弦AB的長度取得最小值.