Question

已知橢圓C的中心在原點,焦點在軸上,以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形F₁B₁ F₂B₂是一個面積為8的正方形.

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點P的坐標為P(－4,0), 過P點的直線L與橢圓C相交于M、N兩點,當線段MN的中點G落在正方形內(包含邊界)時,求直線L的斜率的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）依題意需要求橢圓的標準方程，所以要找到兩個關于基本量的等式，由以及面積的關系可求橢圓的方程.
（2）由于直線與橢圓的相交得到的弦的中點坐標，可通過假設直線方程與橢圓的方程聯立可求得，判別式要大于零.其中用直線的斜率表示中點坐標.由于中點在正方形內，其實就是要符合一個不等式的可行域問題.因此通過解不等式即可得到所求的結論.
試題解析：(1)求得橢圓C的方程為;;
(2)∵點P的坐標為(-4,0),顯然直線L的斜率k存在,
∴直線L方程為 如圖設點M、N的坐標分別為,
線段MN的中點為,由
由△>0解得:      又
, ∵, ∴點G不可能在y軸的右邊,
又直線F₁B₂, F₁B₁的方程分別為.
∴點G在正方形B₁F₂B₁F₁內的充要條件為:    即
即.