Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“可等域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)f（x）的一個(gè)“可等域區(qū)間”．下列函數(shù)中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”為（　　）

• A、f（x）=sin（

  π

  2

  x）
• B、f（x）=2x²-1
• C、f（x）=2^x+1
• D、f（x）=log₂（2x-2）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)“可等域區(qū)間”的定義分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答：解：對于A，函數(shù)f（x）=sin（

π

2

x）的周期是4，正弦函數(shù)的性質(zhì)我們易得，A=[0，1]為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”，同時(shí)當(dāng)A=[-1，0]時(shí)也是函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”，∴不滿足唯一性．
對于B，當(dāng)A=[-1，1]時(shí)，f（x）∈[-1，1]，滿足條件，且由二次函數(shù)的圖象可知，滿足條件的集合只有A=[-1，1]一個(gè)．∴f（x）=2x²-1滿足題意．
對于C，A=[m，n]為函數(shù)f（x）=2^x+1的“可等域區(qū)間”，若f（x）=2^x+1滿足條件，則由

2m+1=m 2n+1=n

，
即m，n是方程2^x+1=x的兩個(gè)根，設(shè)f（x）=2^x+1-x，則f′（x）=2^xln2-1，x＞0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，方程無解，故不滿足條件．
對于D，∵f（x）=log₂（2x-2）單調(diào)遞增，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
若存在“可等域區(qū)間”，則滿足

log2(2m-2)=m log2(2n-2)=n

，即

2m-2=2m 2n-2=2n

，
∴m，n是方程2^x-2x+2=0的兩個(gè)根，設(shè)f（x）=2^x-2x+2，f′（x）=2^xln2-2，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）=2^x-2x+2=0不可能存在兩個(gè)解，
故f（x）=log₂（2x-2）不存在“可等域區(qū)間”．
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的新定義問題，根據(jù)“可等域區(qū)間”的定義，建立條件關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．