Question

如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O為其中心，M是線段DC₁上的動點，設DM在棱DC上的投影為x，點M到點O的距離為d，則d關于x的函數d=f（x）的圖象大致為（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：函數的圖象,空間向量的夾角與距離求解公式

專題：函數的性質及應用,空間向量及應用

分析：先建立空間直角坐標系，由題意給出已知的所求的點的坐標，然后根據兩點間距離公式把M到點O的距離為d表示出來，得到d關于x的函數d=f（x），再根據函數d=f（x）的性質研究其圖象特點求解．

解答：解：由題意，以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
由已知得O(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，又因為DM在棱DC上的投影為x，所以設M（0，x，x），所以

MO

=(

1

2

，

1

2

-x，

1

2

-x)，
則點M到點O的距離為d=|

MO

|=

( 1 2 )2+2(x- 1 2 )2

=

2(x- 1 2 )2+ 1 4

，（0＜x＜1），
因為二次函數y=2(x-

1

2

)2+

1

4

在(0，

1

2

)遞減，在(

1

2

，1)遞增．且恒大于0，四個選項中只有A項滿足．
故選：A．

點評：該題的關鍵是能夠根據“DM在棱DC上的投影為x”給出點M坐標（0，x，x），而根據兩點間距離公式將d表示成x的函數，再利用二次函數的性質研究其圖象則屬于常規(guī)問題．