Question

20．（1）已知向量$\overrightarrow{AB}=（6，1）$，$\overrightarrow{BC}=（x，y）$，$\overrightarrow{CD}=（-2，-3）$，若$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{AD}$，試求x與y之間的表達式．

（2）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，求證：A、B、C三點共線，并求$\frac{{|\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由可得已知$\overrightarrow{AD}=（x+4，y-2）$，結合$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{AD}$，可得x（y-2）=（x+4）y，整理可得答案；
（2）由已知可得：$\overrightarrow{CA}∥2\overrightarrow{CB}$，結合$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$有公共點C，可得：A、B、C三點共線，進而可得$\frac{{|\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$的值．

解答 （1）解：∵向量$\overrightarrow{AB}=（6，1）$，$\overrightarrow{BC}=（x，y）$，$\overrightarrow{CD}=（-2，-3）$，
∴$\overrightarrow{AD}=\overline{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（x+4，y-2）$
∵$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{AD}$，
∴x（y-2）=（x+4）y，∴x=-2y；
（2）證明：∵$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$．
∴$-\overrightarrow{CO}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CO}）+\frac{2}{3}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CO}）$，
∴$\overrightarrow{CA}=-2\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CA}∥2\overrightarrow{CB}$，
∵$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$有公共點C，
∴A、B、C三點共線 
且 $\frac{{|\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$=2．

點評 本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，向量共線的充要條件，難度中檔．