Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_n+3S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a₁=

1

3

，則數列{a_n}的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：根據數列的遞推關系構造等差數列，利用a_n與S_n的關系即可求出數列的通項公式．

解答： 解：由a_n+3S_n•S_n-1=0得a_n=-3S_n•S_n-1，
當n≥2時，a_n=-3S_n•S_n-1=S_n-S_n-1，
∵a₁=

1

3

，∴S_n•S_n-1≠0，
等式兩邊同時除以S_n•S_n-1得

1

Sn

-

1

Sn-1

=3，
即{

1

Sn

}是以3為首項，3為公差的等差數列，
則

1

Sn

=3+3（n-1）=3n，
即S_n=

1

3n

，則a_n=-3S_n•S_n-1=-

1

3n(n-1)

，n≥2，
∵a₁=

1

3

不滿足a_n=-

1

3n(n-1)

，n≥2，
∴數列的通項公式a_n=

1 3 ， n=1 - 1 3n(n-1) ， n≥2

，
故答案為：

1 3 ， n=1 - 1 3n(n-1) ， n≥2

．

點評：本題主要考查數列通項公式的求解，利用數列的遞推關系結合a_n與S_n的關系是解決本題的關鍵．