Question

已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線(xiàn)與函數(shù)y=log₈x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線(xiàn)與函數(shù)y＝log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn)

(1)證明點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線(xiàn)上

(2)當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

Answer 1

(1)設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，由題設(shè)知x₁＞1，x₂＞1，點(diǎn)A(x₁，log₈x₁），B（x₂，log₈x₂）

 

因?yàn)锳、B在過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)上，所以＝，

 

又點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）.

 

由于log₂x₁＝＝3log₈x₁，log₂x₂＝＝3log₈x₂，

 

所以O(shè)C的斜率和OD的斜率分別為

 

k_OC＝＝3，k_OD＝＝.

 

由此得k_OC＝k_OD，即O、C、D在同一條直線(xiàn)上.

 

(2)由BC平行于x軸，有log₂x₁＝log₈x₂，解得x₂＝x³₁

 

將其代入＝，得x₁³log₈x₁＝3x₁log₈x₁.

 

由于x₁＞1，知log₈x₁≠0，故x³₁＝3x₁，x₁＝，于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，log₈）.