Question

已知過原點O的一條直線與函數y=log₈x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log₂x的圖象交于C、D兩點. 

(1)證明: 點C、D和原點O在同一直線上.

(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標.

Answer 1

(1)證明略 (2) A(，log₈)

解析:

設A、B的橫坐標分別為x₁、x₂，由題設知x₁＞1,x₂＞1,點A(x₁,log₈x₁),B(x₂,log₈x₂).

因為A、B在過點O的直線上，所以,又點C、D的坐標分別為(x₁,log₂x₁）、(x₂,log₂x₂).

由于log₂x₁=3log₈x₁,log₂x₂=3log₈x₂,則

由此得k_OC=k_OD,即O、C、D在同一直線上 

(2)解:由BC平行于x軸，有log₂x₁=log₈x₂,又log₂x₁=3log₈x₁

∴x₂=x₁³

將其代入,得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,

由于x₁＞1知log₈x₁≠0,故x₁³=3x₁x₂=,于是A(，log₈).