Question

已知過原點O的一條直線與函數y=log₈x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數的y=log₂x的圖象交于C、D兩點．
（1）證明點C、D和原點O在同一條直線上；
（2）當BC平行于x軸時，求點A的坐標．

Answer 1

分析：（1）設出A、B的坐標，解出C、D的坐標，求出OC、OD的斜率相等則三點共線．
（2）BC平行x軸，B、C縱坐標相等，推出橫坐標的關系，結合（1）即可求出A的坐標．

解答：解：（Ⅰ）設點A、B的橫坐標分別為x₁、x₂由題設知，x₁＞1，x₂＞1．則點A、B縱坐標分別為log₈x₁、log₈x₂．
因為A、B在過點O的直線上，所以，

log8x1

x1

=

log8x2

x2

點C、D坐標分別為（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于log₂x₁=

log8x1

log82

=3log₈x₁，
log₂x₂=

log8x2

log82

=3log₈x₂
OC的斜率k1=

log2x1

x1

=

3log8x1

x1

，
OD的斜率k2=

log2x2

x2

=

3log8x2

x2

．
由此可知，k₁=k₂，
即O、C、D在同一條直線上．
（Ⅱ）由于BC平行于x軸知
log₂x₁=log₈x₂，
即得log₂x₁=

1

3

log₂x₂，
∴x₂=x₁³．
代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁．
由于x₁＞1知log₈x₁≠0，
∴x₁³=3x₁．
考慮x₁＞1解得x₁=

3

．
于是點A的坐標為（

3

，log₈

3

）．

點評：本小題主要考查對數函數圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識，考查運算能力和分析問題的能力．