Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，，平面平面ABC，點(diǎn)D在線段BC上，且，E，F分別為線段PC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是PD上的動(dòng)點(diǎn).

（1）證明：.

（2）當(dāng)平面PAC時(shí)，求直線PA與平面EFG所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

(1) 連接PF,先證明平面PDF,再證明即可.

(2) F為坐標(biāo)原點(diǎn),以FH.FA,FP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz,再根據(jù)空間向量中直線與平面夾角的方法求解即可.

（1）證明：連接PF,因?yàn)?/span>,F為AB的中點(diǎn),

所以.

又平面平面ABC,平面平面,

所以平面ABC,從而.

設(shè)BC的中點(diǎn)H,因?yàn)?/span>,DF是的中位線,

所以.

同理可知,所以

所以平面PDF

因?yàn)?/span>平面PDF,所以

（2）解：連接GH,因?yàn)?/span>FH是的中位線,所以.

因?yàn)?/span>平面PAC,平面PAC,所以平面PAC.

又因?yàn)?/span>平面PAC, ,所以平面平面PAC

因?yàn)槠矫?/span>PBC分別與平面FGH與PAC相交于GH,PC,

所以,且

易知FH,FA,FP兩兩垂直,以F為坐標(biāo)原點(diǎn),以FH.FA,FP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz,如圖所示,

則.

設(shè)平面EFG的法向量為,

由得,取,得

又,設(shè)PA與平面EFG所成角為

則