【題目】某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨(dú)立的從
四所高校中選2所.
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同學(xué)都選
高校的概率；
（Ⅱ）若已知甲同學(xué)特別喜歡
高校，他必選校，另在
三校中再隨機(jī)選1所；而同學(xué)乙和丙對四所高校沒有偏愛，因此他們每人在四所高校中隨機(jī)選2所.
（ⅰ）求甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率；
（ⅱ）記
為甲、乙、丙三名同學(xué)中選校的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）（ⅰ）
（ⅱ）分布列見解析，期望為
.
【解析】
（Ⅰ）先根據(jù)古典概型概率求甲同學(xué)選
高校的概率，同理可得乙、丙同學(xué)選高校的概率，最后根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式得結(jié)果，（Ⅱ）（ⅰ）先根據(jù)古典概型概率求甲同學(xué)選高校的概率以及乙、丙未選高校的概率，最后根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式得結(jié)果，（ⅱ）先確定隨機(jī)變量的取法，再分別求對應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得結(jié)果.
（Ⅰ）甲從
四所高校中選2所，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD六種方法，
甲同學(xué)都選高校，共有AD,BD,CD三種方法，甲同學(xué)選高校的概率為
，
因此乙、丙同學(xué)選高校的概率皆為
，
因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立，所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率為
（Ⅱ）（ⅰ）甲同學(xué)必選
校且選高校的概率為
，乙未選高校的概率為，丙未選高校的概率為，因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立，所以甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率
，
（ⅱ）
因此
，
，
，
，
即分布列為
| 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
因此數(shù)學(xué)期望為
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】定義在
上的函數(shù)
，如果滿足：對任意
，存在常數(shù)
，都有
成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中
稱為函數(shù)的上界．
（1）設(shè)
，判斷在
上是否為有界函數(shù)，若是，請說明理由，并寫出的所有上界的集合；若不是，也請說明理由；
（2）若函數(shù)
在
上是以
為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
上兩個(gè)不同的點(diǎn)
、
關(guān)于直線
對稱．
（1）若已知
，
為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，證明：
；
（2）求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（3）求
面積的最大值（
為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，a為常數(shù).
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性：
（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)
，
且
，求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，
，平面
平面ABC，點(diǎn)D在線段BC上，且
，E，F分別為線段PC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是PD上的動(dòng)點(diǎn).
（1）證明：
.
（2）當(dāng)
平面PAC時(shí)，求直線PA與平面EFG所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角梯形
中，
，
，
，直角梯形
可以通過直角梯形以直線
為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面
平面.
（1）求證：
；
（2）設(shè)
、
分別為
、
的中點(diǎn)，
為線段
上的點(diǎn)（不與點(diǎn)
重合）.
（i）若平面
平面，求
的長；
（ii）線段上是否存在，使得直線
平面
，若存在求的長，若不存在說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為
，離心率為
，過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與坐標(biāo)軸不垂直，且交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
求橢圓的方程；
設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得C，B，N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
設(shè)
，是線段
為坐標(biāo)原點(diǎn)
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且
，求m的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，將數(shù)字1,2,3，…， 
（
）全部填入一個(gè)2行
列的表格中，每格填一個(gè)數(shù)字，第一行填入的數(shù)字依次為
， 
，…， 
，第二行填入的數(shù)字依次為
， 
，…， 
．記
．
（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，若
， 
， 
，寫出
的所有可能的取值；
（Ⅱ）給定正整數(shù)
．試給出
， 
，…， 
的一組取值，使得無論
， 
，…， 
填寫的順序如何， 
都只有一個(gè)取值，并求出此時(shí)
的值；
（Ⅲ）求證：對于給定的
以及滿足條件的所有填法， 
的所有取值的奇偶性相同.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）若
，函數(shù)
在
上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（2）若常數(shù)
，且對任何
，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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