【題目】在如圖的空間幾何體中，
是等腰直角三角形，
，四邊形
為直角梯形，
，
為
中點.
（Ⅰ）證明：
平面
；
（Ⅱ）若
，求
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取
中點為
，連接
和
，可得面
面
，進而可得結論；
（Ⅱ）法一，利用幾何法求線面角；法二，建立空間直角坐標系，利用向量運算求線面角.
法一：（Ⅰ）證明：取中點為，連接和，
有
，
面，
有
，
面，
，
面面.
面
，
平面；
（Ⅱ）
四邊形
為梯形，
，為中點，
，即四邊形
為平行四邊形，
.
要求
與平面
所成角，只需求與平面所成角，
連接
，
，
由題意可知，
，
，
面
，
面
面，
點
到面
的距離就是點到的距離.
，
面，
，
，
，又
，
，
點到的距離為
.
在三棱錐
中，
，
根據
，
.
記點到面的距離為
，
由
，得
.
所以與平面所成角的正弦為
.
法二：以
為
軸，過點
作
平面的垂線為
軸，建立空間直角坐標系，如圖，
設點
由題意可得：
由
設平面
法向量為
，
，
即：
，
故與平面所成角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列
的首項為
，公差為
，等比數列
的首項為，公比為，其中
，且
．
（1）求證：
，并由
推導的值；
（2）若數列共有
項，前
項的和為
，其后的項的和為
，再其后的項的和為
，求
的比值．
（3）若數列的前項，前
項、前項的和分別為
，試用含字母
的式子來表示
（即
，且不含字母）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】過拋物線
的焦點為F且斜率為k的直線l交曲線C于
、
兩點，交圓
于M，N兩點（A，M兩點相鄰）．
（1）求證：
為定值；
（2）過A，B兩點分別作曲線C的切線
，
，兩切線交于點P，求
與
面積之積的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在
上的函數
，如果滿足：對任意
，存在常數
，都有
成立，則稱是上的有界函數，其中
稱為函數的上界．
（1）設
，判斷在
上是否為有界函數，若是，請說明理由，并寫出的所有上界的集合；若不是，也請說明理由；
（2）若函數
在
上是以
為上界的有界函數，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正項數列
，
滿足：對任意正整數
，都有
，
，
成等差數列，，，
成等比數列，且
，
．
（Ⅰ）求證：數列
是等差數列；
（Ⅱ）求數列，的通項公式；
（Ⅲ）設
=
+
+…+
，如果對任意的正整數，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，
，平面
平面ABC，點D在線段BC上，且
，E，F分別為線段PC，AB的中點，點G是PD上的動點.
（1）證明：
.
（2）當
平面PAC時，求直線PA與平面EFG所成角的正弦值.
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