【題目】已知函數(shù)
,其中
（1）當(dāng)
時,求曲線
在點
處的切線方程；
（2）若函數(shù)
存在最小值
,求證:
.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
（1）將
代入函數(shù)
,對函數(shù)求導(dǎo),將
代入導(dǎo)函數(shù)求斜率,將代入原函數(shù)求切點,最后用點斜式求曲線
在點
處的切線方程；
（2）先求導(dǎo)得
,討論當(dāng)
時,
恒成立,則
在
單調(diào)遞增,無最小值.當(dāng)
時,令
得
或
（舍）
分別討論
時和 
時的單調(diào)性,得出所以存在最小值,
.再對新函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)單調(diào)性即可得出最大值為
,則
得證.
解：（1）時,
切線斜率
曲線在點
處的切線方程為：
即：
（2）
①當(dāng)時,恒成立
在單調(diào)遞增,無最小值
②當(dāng)時,由得或（舍）
時,
,在
單調(diào)遞減
時,
,在
單調(diào)遞增
所以存在最小值,
下面證明.
設(shè)函數(shù)
由
得
,易知
在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減
所以的最大值為
所以
恒成立,得證.
科學(xué)實驗活動冊系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】數(shù)
（其中
）的圖象如圖所示，為了得到
的圖象，則只要將
的圖象上所有的點（ ）
A.向左平移
個單位長度，縱坐標(biāo)縮短到原來的
，橫坐標(biāo)不變
B.向左平移
個單位長度，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍橫坐標(biāo)不變
C.向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變
D.向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在①
，②
，③
這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中.已知：數(shù)列
的前
項和為
，且
， .求：對大于1的自然數(shù)，是否存在大于2的自然數(shù)
，使得
，
，
成等比數(shù)列.若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
:
上任意一點到兩個焦點的距離和為4，且離心率為
．
（1）求橢圓的方程．
（2）過
作互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于
，
和
，
，設(shè)
中點為
，
中點為
，試探究直線
是否過定點？若是，求出該定點；若不是，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
過橢圓
的焦點，且橢圓
的中心
關(guān)于直線
的對稱點的橫坐標(biāo)為
（
為橢圓的焦距）.
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點
，且交橢圓于點
的直線
，滿足
.若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了調(diào)查某款電視機(jī)的壽命，研究人員對該款電視機(jī)進(jìn)行了相應(yīng)的測試，將得到的數(shù)據(jù)分組：
，
，
，
，
，并統(tǒng)計如圖所示：
并對不同性別的市民對這款電視機(jī)的購買意愿作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：
愿意購買該款電視機(jī) | 不愿意購買該款電視機(jī) | 總計 | |
男性 | 800 | 1000 | |
女性 | 600 | ||
總計 | 1200 |
（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，試估計該款電視機(jī)的平均壽命；
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“是否愿意購買該款電視機(jī)”與“市民的性別”有關(guān)；
（3）以頻率估計概率，若在該款電視機(jī)的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取4臺，記其中壽命不低于4年的電視機(jī)的臺數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：
，其中
．
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠的
,
,
三個不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質(zhì)檢人員用分層抽樣的方法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測:
車間 |
|
|
|
數(shù)量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求這6件樣品中來自,,各車間產(chǎn)品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件產(chǎn)品來自相同車間的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線
的焦點，離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若
，
，求
的值.
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