Question

【題目】在下列命題中,正確的命題有________(填寫正確的序號(hào))

①若,則的最小值是6;

②如果不等式的解集是,那么恒成立;

③設(shè)x,,且,則的最小值是;

④對(duì)于任意,恒成立,則t的取值范圍是;

⑤“”是“復(fù)數(shù)()是純虛數(shù)”的必要非充分條件;

⑥若,,,則必有;

Answer 1

【答案】①②③④⑥

【解析】

①,利用均值定理求最值即可；

②由一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系,利用韋達(dá)定理求解即可；

③由得,代入式子中可得關(guān)于的函數(shù),進(jìn)而求得最值即可；

④設(shè),則可轉(zhuǎn)化為在時(shí),,進(jìn)而求解即可；

⑤由純虛數(shù)的定義可知虛部不為0,實(shí)部為0,進(jìn)而判斷即可；

⑥由可得,代入中可得,再將代入求解即可

①因?yàn)?/span>,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故①正確；

②由不等式與方程的關(guān)系可知和是方程的解,所以,,所以,,則,故②正確；

③因?yàn)?/span>,所以,

則,

則當(dāng)時(shí),的最小值為,故③正確；

④由題,因?yàn)?/span>,即在時(shí)恒成立,

當(dāng)時(shí),,不成立；

當(dāng)時(shí),設(shè),

當(dāng)時(shí),,解得或,所以；

當(dāng)時(shí),,解得或,所以,

綜上,,故④正確；

⑤因?yàn)?/span>()是純虛數(shù),所以,解得或,

所以“”是“復(fù)數(shù)()是純虛數(shù)”的充分不必要條件,故⑤錯(cuò)誤；

⑥因?yàn)?/span>,,所以,代入可得,

則,即,所以,

即,

所以,

故⑥正確；

故答案為: ①②③④⑥