Question

設f（x）=x³-mx²-2x+5
（1）當m=

1

2

時，求f（x）的單調區間；
（2）若m=

1

2

且0≤x≤2時，f（x）＜k總成立，求實數k的取值范圍；
（3）若f（x）在[0，1]上有極值點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當m=

1

2

時，求出函數的導數，利用導函數的符號，求解求f（x）的單調區間；
（2）若m=

1

2

，求出導函數的零點，判斷零點是否在0≤x≤2內，求出函數f（x）的最大值，即可求出實數k的取值范圍；
（3）若f（x）在[0，1]上有極值點，說明導數的區間內有兩個不相等的實數根，列出不等式組即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，
∴f′（x）=3x²-x-2，由 f′（x）＞0 得 x＜-

2

3

或 x＞1，
∴增區間為（-∞，-

2

3

），（1，+∞），減區間為（-

2

3

，1）． …（4分）
（2）f′（x）=3x²-2x-2=0，得x=-

2

3

（舍去），x=1．
又 f （0）=5，f （1）=

7

2

，f （2）=7，所以 f （x）|_max=7，得 k＞7．…（8分）
（3）f′（x）=3x²-2mx-2，其圖象恒過定點（0，-2），
由此可知，3x²-2mx-2=0必有一正根和一負根，
只需要求正根在（0，1）上，
∴f′（0）•f′（1）＜0，∴m＜

1

2

． …（12分）

點評：本題考查函數與導數的綜合應用，閉區間上的最值的求法，函數的極值以及單調區間的求法，考查轉化思想以及計算能力．