Question

已知函數f（x）=log₃（ax²-x+1），其中a∈R．
（1）若f（x）的定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，若g（x）=f（x）-log₃（x-1），求g（x）的值域．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）需要分類討論，當a=0時，當a≠0，根據對數函數的定義即可求出a的取值范圍
（2）先化簡g（x），利用換元法，求出函數的值域

解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=log₃（-x+1），顯然定義域不是R，不合題意，舍去．
當a≠0時，要使f（x）的定義域為R，則

a＞0 △=1-4a＜0

⇒a＞

1

4

．
故實數a的取值范圍（

1

4

，+∞）
（2）當a=1時，g(x)=log3(x2-x+1)-log3(x-1)，其定義域為x∈（1，+∞）．
∴g(x)=log3

x2-x+1

x-1

(x＞1)．
令t=x-1＞0，則

x2-x+1

x-1

=

t2+t+1

t

=t+

1

t

+1≥3，
故g(x)=log3

x2-x+1

x-1

≥1，即g（x）的值域為[1，+∞）．

點評：本題主要考查了對數函數的圖象和性質，以及函數值域的求法，屬于基礎題