Question

若4a²-3b²=12（a，b∈R），則|2a-b|的最小值是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的參數方程,有理數指數冪的化簡求值

專題：函數的性質及應用

分析：利用雙曲線的參數方程轉化為|2a-b|=|2

3

secθ-2tanθ|=|

2 3 -sinθ

cosθ

|，利用斜率計算公式、直線與圓的相切的性質即可得出．

解答： 解：∵4a²-3b²=12，∴

a2

3

-

b2

4

=1，
設a=

3

secθ，b=2tanθ，
∴|2a-b|=|2

3

secθ-2tanθ|=|

2 3 -sinθ

cosθ

|，
令k=

sinθ-2 3

cosθ-0

，表示過兩點P（cosθ，sinθ），Q(0，2

3

)．
而點P的軌跡是圓：x²+y²=1．
∴

2 3

1+k2

≤1，解得k≤-

11

或k≥

11

．
∴|2a-b|的最小值是

11

．
故答案為：

11

．

點評：本題考查了雙曲線的參數方程、斜率計算公式、直線與圓的相切的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．