Question

已知定義域為[0，1]上的函數(shù)f（x）=1-|1-2x|和g（x）=（x-1）²，且記min{x₁、x₂、x₃…、x_n}為x₁、x₂、x₃…、x_n中的最小值．
（1）求F（x）=min{f（x），g（x）}的函數(shù)解析式；
（2）求F（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）先取絕對值，化為分段函數(shù)，再求出函數(shù)的圖象的交點，得到函數(shù)f（x）與g（x）的大小關系，繼而求出函數(shù)F（x）的解析式，
（2）由圖象可知函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）當x≥

1

2

，f（x）=1-2x+1=2-2x
當x＜

1

2

時，f（x）=1-1+2x=2x
聯(lián)立f（x），和g（x）
解得交點為：x=1，x=2-

3

由圖可知
當x＜2-

3

，f（x）＜g（x）
當2-

3

≤x＜1時，g（x）＜f（x）
當x≥1時，f（x）＜g（x）
所以，又定義域為[0，1]
F（x）=

2x，0≤x＜2- 3 (x-1)2，2- 3 ≤x≤1

（2）由圖可知最大值在x=2-

3

時取得，
則最大值為（2-

3

-1）²=4-2

3

所以值域為：[0，4-2

3

]

點評：本題考查了函數(shù)的解析式的求法，和函數(shù)的值域，關鍵是畫出函數(shù)的圖象，得到了個函數(shù)的關系，屬于中檔題