Question

6．設方程${log_4}x-{（\frac{1}{4}）^x}=0$、${log_{\frac{1}{4}}}x-{（\frac{1}{4}）^x}=0$的根分別為 x₁、x₂，則（　　）

• A． $\frac{1}{2}$＜x₁x₂＜1
• B． x₁x₂=1
• C． 1＜x₁x₂＜2
• D． x₁x₂≥2

Answer 1

分析 由題意可得，函數y=log₄x和函數y=（$\frac{1}{4}$）^x交點的橫坐標為x₁，函數y=${log}_{\frac{1}{4}}$x和函數y=（$\frac{1}{4}$）^x的交點的橫坐標為x₂，結合圖象可得x₁=$\frac{1}{2}$，1＜x₂＜2，從而得到$\frac{1}{2}$＜x₁x₂＜1，由此求得答案．

解答 解：∵方程log₄x-（$\frac{1}{4}$）^x=0、${log_{\frac{1}{4}}}x-{（\frac{1}{4}）^x}=0$的根分別為x₁、x₂，
∴log₄x=（$\frac{1}{4}$）^x，且${log}_{\frac{1}{4}}$=（$\frac{1}{4}$）^x，
故函數y=log₄x和函數y=（$\frac{1}{4}$）^x交點的橫坐標為x₁，函數y=${log}_{\frac{1}{4}}$x和函數y=（$\frac{1}{4}$）^x的交點的橫坐標為x₂，

結合圖象可得x₁=$\frac{1}{2}$，1＜x₂＜2，
∴$\frac{1}{2}$＜x₁x₂＜1，
故選：A．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數判斷，以及函數與方程的思想，解答關鍵是運用數形結合的思想，屬于中檔題．