Question

14．在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，E是PD中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面ACE；
（3）求二面角P-BC-A的大��；
（2）求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）要證PB∥平面ACE，只需證明PB與平面ACE內(nèi)的一條直線平行即可，連接BD交AC于O，則O為AC的中點(diǎn)，從而OE為三角形PBD的中位線，易知EO∥PB，從而得證；
（2）取BC中點(diǎn)H，連結(jié)AH，PH，則AH⊥BC，PH⊥BC，∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的大�。�
（3）作EF⊥AD，則EF為三棱錐E-ACD的高，從而可求體積．

解答 證明：（1）連接BD交AC于O，∵ABCD為菱形，則BO=OD，
連接EO，則EO∥PB
∵EO?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
解：（2）取BC中點(diǎn)H，連結(jié)AH，PH，
∵在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，
∴AH⊥BC，PH⊥BC，
∴∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，
且AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠PHA=$\frac{PA}{AH}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴∠PHA=arctan$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角P-BC-A的大小為arctan$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（3）作EF⊥AD，則EF∥PA，
∵PA⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，
∵PA=2，∴EF=1，
∵底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，
∴S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4$=$\sqrt{3}$．
三棱錐E-ACD的體積為V=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．