Question

已知函數，，其中，為自然對數的底數．

（1）若在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）求在上的最小值；

（3）試探究能否存在區間，使得和在區間上具有相同的單調性？若能存在，說明區間的特點，并指出和在區間上的單調性；若不能存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）

（3）當時，不能存在區間，使得和在區間上具有相同的單調性；當時，存在區間，使得和在區間上均為減函數．

【解析】

試題分析：（1）切點處的導數值，即為切線的斜率，根據在處的切線與直線垂直，斜率乘積為，建立的方程；

（2）遵循求導數、求駐點、討論區間單調性、確定極值（最值）；

（3）求的定義域為，及導數 ．

根據時，，知在上單調遞減．

重點討論的單調性．

注意到其駐點為，故應討論：

①， ②的情況，作出判斷．

綜上，當時，不能存在區間，使得和在區間上具有相同的單調性；當時，存在區間，使得和在區間上均為減函數．

試題解析：（1），，

在處的切線與直線垂直，

3分

（2）的定義域為，且 ．

令，得． 4分

若，即時，，在上為增函數，；5分

若，即時，，在上為減函數，

； 6分

若，即時，

由于時，；時，，

所以

綜上可知 8分

（3）的定義域為，且 ．

時，，在上單調遞減． 9分

令，得

①若時，，在上，單調遞增，由于在上單調遞減，所以不能存在區間，使得和在區間上具有相同的單調性； 10分

②若時，，在上，單調遞減；

在上，單調遞增．由于在上單調遞減，存在區間，使得和在區間上均為減函數．

綜上，當時，不能存在區間，使得和在區間上具有相同的單調性；當時，存在區間，使得和在區間上均為減函數． 13分

考點：應用導數研究函數的單調性、最（極）值，轉化與化歸思想．