Question

16．實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y-2x≤-2}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$，則$\frac{y}{x}$的取值范圍是$[\frac{1}{3}，1]$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)k=$\frac{y}{x}$，利用目標函數(shù)的幾何意義，求k的最值即可．

解答 解：設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則k的幾何意義為過原點的直線的斜率：
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y-2x≤-2}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
則由圖象可知，過原點的直線y=kx，當直線y=kx，經(jīng)過點A時，直線的斜率k最小，
當經(jīng)過點A時，直線的斜率k最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2x=-2}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得A（2，2），此時k=$\frac{2}{2}$=1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得B（3，1），此時k=$\frac{1}{3}$，
∴直線y=kx的斜率k的取值范圍是$\frac{1}{3}$≤k≤1，
故答案為：$[\frac{1}{3}，1]$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義為過原點直線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．