Question

5．現要將中國南方的新鮮荔枝運到北方甲、乙兩地銷售，運輸時間單位以天計算．從運輸出發到目的地所用時間為n天，則新鮮荔枝的品質為n級．據統計，每噸n級新鮮荔枝的利潤是：運到甲地200-60n；運到乙地為300-70n．根據歷史資料，近期各有10批次運往甲、乙兩地的運輸時間及頻數統計如表：

目的地/頻數/運輸時間	1	2	3	4	5
甲地	2	4	3	1
乙地		1	3	4	2

以下計算都將頻率視為概率，若選擇運往甲地或乙地的概率相同（利潤單位為：元）
（1）問運往甲地或乙地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率；
（2）設運到乙地的新鮮荔枝每噸利潤為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數學期望Eξ；
（3）在同一批次中，把噸位數相同的新鮮荔枝運到甲地和運到乙地所獲利潤分別為X、Y，求事件“X＞Y”發生的概率．

Answer 1

分析 （1）求出運往甲地、乙地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率，再計算運往甲地或乙地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率值；
（2）根據題意知運到乙地的新鮮荔枝每噸利潤ξ的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望值；
（3）列出把同一批次的新鮮荔枝運到甲地和乙地所用時間和每噸利潤及概率表，計算運到甲地和運到乙地所獲利潤X＞Y的概率值即可．

解答 解：（1）運往甲地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率為P₁=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
運往乙地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率為P₂=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$；
所以運往甲地或乙地的新鮮荔枝每噸利潤不低于80元的概率為P=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{2}$；
（2）設運到乙地的新鮮荔枝每噸利潤為隨機變量ξ，
則ξ的可能取值為160，90，20，-50；
計算P（ξ=160）=$\frac{1}{10}$，
P（ξ=90）=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=20）=$\frac{4}{10}$，
P（ξ=-50）=$\frac{2}{10}$，
所以ξ的分布列為：

ξ	160	90	20	-50
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{2}{10}$

數學期望為Eξ=160×$\frac{1}{10}$+90×$\frac{3}{10}$+20×$\frac{4}{10}$-50×$\frac{2}{10}$=41；
（3）把同一批次的新鮮荔枝運到甲地和乙地，所用時間和每噸利潤及概率如下表；
運往甲地：

天數	1	2	3	4
利潤	140	80	20	-40
概率	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{10}$

運往乙地：

天數	2	3	4	5
利潤	160	90	20	-50
概率	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$

則運到甲地和運到乙地所獲利潤X＞Y的概率為：
P（X＞Y）=$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{10}$+$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{12}{25}$，
即事件“X＞Y”發生的概率為$\frac{12}{25}$．

點評 本題考查了古典概型的概率計算以及離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是中檔題．