Question

10．設函數f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{4}$．
（1）求φ；
（2）求函數y=f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析 （1）根據三角函數的性質可知x=$\frac{π}{4}$．f（x）取得最值，即可求出φ
（2）根據三角函數的性質可求f（x）的單調增區間．

解答 解　（1）∵x=$\frac{π}{4}$是y=f（x）的圖象的一條對稱軸，
∴sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{4}$+φ）=±1，
∴$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{3π}{8}$．
此時f（x）的解析式為f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{3π}{8}$）；
（2）由（1）知f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{3π}{8}$），
由題意得：令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{8}$π≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得4kπ-$\frac{7}{4}$π≤x≤4kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴函數f（x）的單調增區間為[4kπ-$\frac{7}{4}$π，4kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．

點評 本題考查正弦函數的圖象及性質的運用，于基礎題．