Question

16．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點A關于原點的對稱點為B，F為其右焦點，若AF⊥BF，且∠ABF=$\frac{π}{4}$，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知：|AF|=|BF|，且AF⊥BF，根據斜率公式及橢圓的性質，列方程組即可求得B的坐標，由A、B分別是橢圓的上下頂點，可知c=b，根據橢圓的性質即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設A（x₀，y₀），則B（-x₀，-y₀），而F（c，0），
依題意有|AF|=|BF|，且AF⊥BF，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}-{c}^{2}+{y}_{0}^{2}=-{x}_{0}-{c}^{2}+{y}_{0}^{2}}\\{\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-c}•\frac{-{y}_{0}-0}{-{x}_{0}-c}=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=±c}\end{array}\right.$，
∴由題意知A、B分別是橢圓的上下頂點，
∴c=b，
∴c²=b²=a²-c²，解得：e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，考查斜率公式及離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題．