Question

如圖，已知AB是半圓O的直徑，且AB=4，BC與圓O相切，且BC=4，連接OC與半圓O相交于E點，連接AE并延長與BC交于D點，則CD=

 

．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：三角函數的求值

分析：設CD=x，∠BAC=α，則BD=4-x，連接BE，則∠BOC=2α，在△OBC中，tan2α=2，可得tanα=

-1+ 5

2

，在△∠BAD中：tanα=

4-x

4

，解得答案．

解答： 解：設CD=x，∠BAC=α，則BD=4-x，連接BE，

則∠BOC=2α，
在△OBC中，OB=

1

2

AB=2，BC=4，
∴tan2α=

4

2

=2=

2tanα

1-tan2α

，
即tanα=1-tan²α，即tan²α+tanα-1=0，
解得：tanα=

-1+ 5

2

，或tanα=

-1- 5

2

（舍），
在△∠BAD中：tanα=

4-x

4

=

-1+ 5

2

，
解得：x=6-2

5

，
故答案為：6-2

5

點評：本題考查的知識點是三角函數的應用，難度中檔．