Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-x²-3x+3．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）求函數f（x）在區間[t，t+4]的最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=x²-2x-3，可得f′（1）=-4，f（1）=-

2

3

．利用點斜式即可得出切線方程；
（2）分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出即可得出單調區間；
（3）對t分類討論，利用（2）的單調性即可得出．

解答： 解：（1）函數f（x）=

1

3

x³-x²-3x+3．
∴f′（x）=x²-2x-3，f（1）=-

2

3

．
∴f′（1）=-4，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y+

2

3

=-4（x-1），化為12x+3y-10=0．
（2）令f′（x）＞0，解得x＞3或x＜-1；令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（3，+∞）；單調遞減區間為（-1，3）．
（3）當t+4≤-1，即t≤-5時，∵函數f（x）在區間（-∞，-1]單調遞增，∴當x=t時，f（x）取得最小值，f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
當t≥3，函數f（x）在區間[3，+∞]單調遞增，∴當x=t時，f（x）取得最小值，f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
當-5＜t＜-3時，-1＜t+4＜1．∵函數f（x）在區間[t，-1]單調遞增，在[-1，t+4]上單調遞減，
而f（t+4）-f（t）=

1

3

(t+4)3-(t+4)2-3(t+4)+3-

1

3

t3+t²+3t-3=4(t+1)2-

32

3

＞0．
∴函數f（x）的最小值為{f（t），f（t+4）}_min=f（t）．
當-3≤t≤3時，1＜t+4＜7．∵函數f（x）在區間[t，3）單調遞減，在（3，t+4]單調遞增，
∴函數f（x）的最小值為f（3）=9-9-9+3=-6．
綜上可得：當t+4≤-1，即t≤-5時，f（x）的最小值為f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
當t≥3，f（x）的最小值為f（t）=

1

3

t3-t2-3t+3．
當-5＜t＜-3時，-1＜t+4＜1，函數f（x）的最小值為f（t）．
當-3≤t≤3時，1＜t+4＜7，函數f（x）的最小值為f（3）=-6．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、切線方程，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．