Question

20．在△ABC中，CB=3，C A=4，|${\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}}$|=|${\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}}$|，M是線段AB上的動點（含 A，B兩個端點）．若$\overrightarrow{C{M}}$=x$\overrightarrow{C{A}}$+y$\overrightarrow{C{B}}$，（x，y∈R），則|x$\overrightarrow{C{A}}$-y$\overrightarrow{C{B}}}$|的取值范圍是[$\frac{12}{5}$，4]．

Answer 1

分析 如圖所示，由已知可得∠C=90°．斜邊AB上的高h=$\frac{12}{5}$．而$\overrightarrow{C{M}}$=x$\overrightarrow{C{A}}$+y$\overrightarrow{C{B}}$=（3y，4x），可得|$\overrightarrow{C{M}}$|=$\sqrt{9{y}^{2}+16{x}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，4]．即可得出|x$\overrightarrow{C{A}}$-y$\overrightarrow{C{B}}}$|的取值范圍．

解答 解：如圖所示，

∵BC=3，CA=4，AB=5，3²+4²=5²，
∴∠C=90°．
∴斜邊AB上的高h=$\frac{12}{5}$．
∵$\overrightarrow{C{M}}$=x$\overrightarrow{C{A}}$+y$\overrightarrow{C{B}}$=x（0，4）+y（3，0）=（3y，4x），
∴|$\overrightarrow{C{M}}$|=$\sqrt{9{y}^{2}+16{x}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，4]．
∵x$\overrightarrow{C{A}}$+y$\overrightarrow{C{B}}$=x（0，4）+y（3，0）=（3y，4x），
則|x$\overrightarrow{C{A}}$-y$\overrightarrow{C{B}}}$|=|x（0，4）-y（3，0）|=|（-3y，4x）|=$\sqrt{9{y}^{2}+16{x}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，4]，
故答案為：[$\frac{12}{5}$，4]．

點評 本題考查了向量坐標運算、數量積運算性質、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．