Question

【題目】若函數是定義在上的奇函數，且當時，.

（Ⅰ）若，求函數的解析式；

（Ⅱ）若，方程至少有兩個不等的解，求的取值集合；

（Ⅲ）若函數為上的單調減函數，

①求的取值范圍；

②若不等式成立，求實數的取值集合.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）①，②

【解析】

首先根據函數的奇偶性求出函數解析式為，

（Ⅰ）將代入即可；（Ⅱ）將代入求出此時函數解析式，畫出函數圖象，方程的解，轉化為函數與的交點，數形結合即可求解；（Ⅲ）將各段函數配成標準式，求出其對稱軸，根據函數在定義域上單調遞減求出參數的值，根據函數的奇偶性及單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，最后解一元二次不等式即可；

解：因為函數是定義在上的奇函數，且當時，.

設則，

因為

所以，，

綜上

（Ⅰ）當時，；

（Ⅱ）當時，，可畫函數圖象如下所示：

因為方程至少有兩個不等的解，即函數與至少有兩個交點，

從函數圖象可知

即

（Ⅲ）因為函數為上的單調減函數，

①當時，對稱軸，所以在上單調遞減，

由于奇函數關于原點對稱的區間上單調性相同，所以在上單調遞減，

所以時，在上為單調遞減函數，

當時，在遞增，在上遞減，不合題意，

所以函數為單調減函數時，的范圍為．

②，，

又是奇函數，，

又因為為上的單調遞減函數，所以，

即解得或

即