Question

【題目】正整數(shù)的所有約數(shù)之和用表示，（比如）.試答下列各問(wèn)：

（1）證明：如果和互質(zhì)，那么；

（2）當(dāng)是的約數(shù)（），且.試證是質(zhì)數(shù).其次，如果是正整數(shù)，是質(zhì)數(shù)，試證也是質(zhì)數(shù)；

（3）設(shè)（為正整數(shù)，為奇數(shù)），且.試證存在質(zhì)數(shù)，使得.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析(3) （為質(zhì)數(shù)）

【解析】

（1）設(shè)的約數(shù)為，的約數(shù)為.因，互質(zhì)，故的約數(shù)是（，）.有

.

（2）因，，1是的約數(shù)，如果，則，故.因此僅當(dāng)時(shí)，才能有，亦即對(duì)來(lái)說(shuō)，除和1之外再無(wú)約數(shù)，故為質(zhì)數(shù).一般地，由

，

如果，則

，

它的任何一個(gè)因數(shù)也不為1，因此非質(zhì)數(shù).

（3）因?yàn)?/span>和互質(zhì).

.

另一方面，由，

， ①

因?yàn)?/span>是奇數(shù)，故（是奇數(shù)），由①得，亦即，是的約數(shù).，因此，由此引用（2）的前半部，，為質(zhì)數(shù).

則 是質(zhì)數(shù)，

即 是質(zhì)數(shù).

綜合以上可得（為質(zhì)數(shù)）.