Question

8．已知函數f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（x）的圖象與g（x）的圖象的一個公共點在y軸上，且在該店處兩條曲線的切線相同，求b和c的值；
（2）若a=c=1，b=0，試著比較f（x）與g（x）的大小，并說明理由；
（3）若函數t（x）與函數f（x）的圖象關于直線y=x對稱，且直線y=g′（x）是函數t（x）圖象的切線，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）、g（x）的導數，由題意可得f（0）=g（0），且f′（0）g′（0）=-1，即可求得b，c；
（2）對x討論，當x＜0，x=0，x＞0，運用指數函數的單調性，同時結合構造函數求得導數和單調區間、極值和最值，求得值域即可比較；
（3）求出t（x）的解析式，設出切點，由切線方程可得a，b，令φ（m）=a+b+$\frac{1}{2m}$+lnm-1，求出導數，和單調區間，可得極小值，也為最小值，即可得到a+b的最小值．

解答 （1）解：由題意可得，f（0）=1，
f'（x）=e^x，f'（0）=1，
g（0）=c，g'（x）=2ax+b，g'（0）=b，
依題意：f（0）=g（0），且f′（0）g′（0）=-1，
解得b=-1，c=1；                
（2）解：a=c=1，b=0時，g（x）=x²+1，
①x=0時，f（0）=1，g（0）=1，即f（x）=g（x）；
②x＜0時，f（x）＜1，g（x）＞1，即f（x）＜g（x）；
③x＞0時，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x²-1，
則h'（x）=e^x-2x．
設k（x）=h'（x）=e^x-2x，則k'（x）=e^x-2，
當x＜ln2時，k'（x）＜0，k（x）單調遞減；
當x＞ln2時，k'（x）＞0，k（x）單調遞增．
所以當x=ln2時，k（x）取得極小值，且極小值為k（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，
即k（x）=h'（x）=e^x-2x＞0恒成立，故h（x）在R上單調遞增，又h（0）=0，
因此，當x＞0時，h（x）＞h（0）＞0，即f（x）＞g（x）．
綜上，當x＜0時，f（x）＜g（x）；
當x=0時，f（x）=g（x）；當x＞0時，f（x）＞g（x）．    
（3）由已知得t（x）=lnx，設切點為（m，lnm），
則切線的方程為y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m），即y=$\frac{1}{m}$x+lnm-1，
y=g′（x）=2ax+b，由題意可得a=$\frac{1}{2m}$，b=lnm-1，
令φ（m）=a+b+$\frac{1}{2m}$+lnm-1，
φ′（m）=-$\frac{1}{2{m}^{2}}$+$\frac{1}{m}$=$\frac{2m-1}{2{m}^{2}}$，m＞0，
當m∈（0，$\frac{1}{2}$），φ′（m）＜0，φ（m）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減；
當m∈（$\frac{1}{2}$，+∞），φ′（m）＞0，φ（m）在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增．
則a+b=φ（m）≥φ（$\frac{1}{2}$）=1-ln2-1=-ln2，
故a+b的最小值為-ln2．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和求單調區間、極值和最值，同時考查函數的單調性的運用和不等式恒成立問題，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．