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17.已知$\overrightarrow{a}$=(1,a),$\overrightarrow{b}$=(sinx,cosx).函數(shù)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的圖象經(jīng)過點(-$\frac{π}{3}$,0).
(Ⅰ)求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小正周期與單調遞增區(qū)間.

分析 (Ⅰ)由題意及平面向量數(shù)量積的運算可得sin(-$\frac{π}{3}$)+acos(-$\frac{π}{3}$)=0,進而來了利用誘導公式,特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解a的值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得f(x)=2sin(x+$\frac{π}{3}$),利用周期公式可求最小正周期由x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$,2k$π+\frac{π}{2}$],(k∈Z)即可解得函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間.

解答 (本題滿分為12分)
解:(Ⅰ)因為函數(shù)$f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b=sinx+acosx$的圖象經(jīng)過點(-$\frac{π}{3}$,0),
所以f(-$\frac{π}{3}$)=0.即sin(-$\frac{π}{3}$)+acos(-$\frac{π}{3}$)=0.
即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{a}{2}$=0.
解得a=$\sqrt{3}$.                               …(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,f(x)=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2($\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx)=2(sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$)=2sin(x+$\frac{π}{3}$).                          …(6分)
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π.                 …(8分)
因為函數(shù)y=sinx的單調遞增區(qū)間為[2kπ$-\frac{π}{2}$,2k$π+\frac{π}{2}$],(k∈Z),
所以當x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$,2k$π+\frac{π}{2}$],(k∈Z)時,函數(shù)f(x)單調遞增,
即2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$,(k∈Z)時,函數(shù)f(x)單調遞增.
所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{5π}{6}$,2kπ+$\frac{π}{6}$],(k∈Z).  …(12分)

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算,誘導公式,特殊角的三角函數(shù)值,兩角和的正弦函數(shù)公式,周期公式,正弦函數(shù)的單調性等知識的綜合應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.

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