Question

17．已知$\overrightarrow{a}$=（1，a），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cosx）．函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的圖象經(jīng)過點（-$\frac{π}{3}$，0）．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意及平面向量數(shù)量積的運算可得sin（-$\frac{π}{3}$）+acos（-$\frac{π}{3}$）=0，進而來了利用誘導公式，特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），利用周期公式可求最小正周期由x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）即可解得函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）因為函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=sinx+acosx$的圖象經(jīng)過點（-$\frac{π}{3}$，0），
所以f（-$\frac{π}{3}$）=0．即sin（-$\frac{π}{3}$）+acos（-$\frac{π}{3}$）=0．
即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{a}{2}$=0．
解得a=$\sqrt{3}$．                               …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．                          …（6分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為2π．                 …（8分）
因為函數(shù)y=sinx的單調遞增區(qū)間為[2kπ$-\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{π}{2}$]，（k∈Z），
所以當x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ$-\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）時，函數(shù)f（x）單調遞增，
即2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z）時，函數(shù)f（x）單調遞增．
所以函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）．  …（12分）

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，誘導公式，特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)公式，周期公式，正弦函數(shù)的單調性等知識的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．