Question

6．已知離心率為e的雙曲線和離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的橢圓有相同的焦點F₁，F₂，P是兩曲線的一個公共點，若∠F₁PF₂=60°，則e=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義，求出|PF₁|，|PF₂|，結合∠F₁PF₂=60°，利用余弦定理和離心率公式，建立方程，即可求出e．

解答 解：設橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的實半軸長為a₂，
焦距為2c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，且不妨設m＞n，
由m+n=2a₁，m-n=2a₂得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
又∠F₁PF₂=60°，
∴4c²=m²+n²-mn=a₁²+3a₂²，
$\frac{{a}_{1}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{{3a}_{2}^{2}}{{c}^{2}}=4$，
由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
則$\frac{1}{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}+\frac{3}{{e}^{2}}=4$，
解得e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的定義與性質，主要考查離心率的求法，同時考查余弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．