Question

已知函數f（x）=a-log₂x（0＜x≤4），函數F（x）=[f（x）]²-f（

x

2

）
（1）求函數F（x）的解析式并求出其定義域；
（2）記函數F（x）的最小值為g（a），求g（a）的表達式；
（3）做出函數y=|g（a）|，并根據圖象，討論方程|g（a）|-k=0的解的個數．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，0＜x≤4，0＜

1

2

x≤4，從而求函數F（x）的定義域，進而求函數F（x）的解析式；
（2）令t=log₂x，則t≤2；y=F（x）=t²-（2a-1）t+a²-a-1，討論二次函數的最值，從而求函數的最值；
（3）做出函數y=|g（a）|圖象，由圖象直接得到方程|g（a）|-k=0的解的個數．

解答： 解：（1）由題意，0＜x≤4，0＜

1

2

x≤4，
則函數F（x）的定義域為[0，4]；
F（x）=[f（x）]²-f（

x

2

）
=[a-log₂x]²-（a-log₂

x

2

）
=log₂²x-（2a-1）log₂x+a²-a-1，
（2）令t=log₂x，則t≤2；
y=F（x）=t²-（2a-1）t+a²-a-1，
當

2a-1

2

≤2，即a≤

5

2

時，
F（x）的最小值為g（a）
=（

2a-1

2

）²-（2a-1）

2a-1

2

+a²-a-1=-

5

4

，
當

2a-1

2

＞2，即a＞

5

2

時，
F（x）的最小值為g（a）
=2²-（2a-1）2+a²-a-1
=a²-5a+5，
故g（a）=

- 5 4 ，a≤ 5 2 a2-5a+5，a＞ 5 2

，
（3）做出函數y=|g（a）|如下，

方程|g（a）|-k=0的解的個數可看作函數y=|g（a）|與y=k有交點的個數．
故當k=0時，方程|g（a）|-k=0有一個解，
當0＜k＜

5

4

時，方程|g（a）|-k=0有兩個解，
當k=

5

4

時，方程|g（a）|-k=0有無數個解，
當k＞

5

4

時，方程|g（a）|-k=0有一個解．
綜上所述，當k=0或k＞

5

4

時，方程|g（a）|-k=0有一個解，
當0＜k＜

5

4

時，方程|g（a）|-k=0有兩個解，
當k=

5

4

時，方程|g（a）|-k=0有無數個解．

點評：本題考查了函數解析式的化簡與函數最小值的求法，同時考查了函數的圖象的作法及應用，屬于難題．