Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為和，離心率是，直線過點(diǎn)交橢圓于， 兩點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)， 的周長(zhǎng)為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)直線繞點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意結(jié)合橢圓的定義可知的周長(zhǎng)為 ， ，結(jié)合離心率可知， ，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）設(shè)， 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為， ，當(dāng)直線與軸重合時(shí)， ，當(dāng)直線與軸重合時(shí)， ，當(dāng)直線斜率為時(shí)， ，當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，則， ，結(jié)合韋達(dá)定理整理計(jì)算可得不等式，解得，則.

試題解析：

（Ⅰ）∵的周長(zhǎng)為 ，

∴，

又，∴，∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）設(shè)， 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為， ，

當(dāng)直線與軸重合時(shí)， 點(diǎn)與上頂點(diǎn)重合時(shí)， ，

當(dāng)直線與軸重合時(shí)， 點(diǎn)與下頂點(diǎn)重合時(shí)， ，

當(dāng)直線斜率為時(shí)， ，

當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，

聯(lián)立，

得，

則有，①

②

設(shè)，則，代入①②得

③

④

∴ ，

即，解得，

綜上，