Question

【題目】已知函數f(x)＝xlnx和g(x)＝m(x2－1)(m∈R)．

(1)m＝1時，求方程f(x)＝g(x)的實根；

(2)若對任意的x∈(1，＋∞)，函數y＝g(x)的圖象總在函數y＝f(x)圖象的上方，求m的取值范圍；

(3)求證： ＋＋…＋>ln(2n＋1) (n∈N*)．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) .(3) 見解析

【解析】試題分析：（1）代入時， ，即，整理方程得，利用導數判斷函數的單調性為遞減函數，故最多有一個零點，而，故方程有唯一的實根；（2）對于任意的, 恒成立，通過構造函數，利用導函數判斷函數的單調性， ，通過討論，判斷是否符合題意；（3）由（2）知，當時， 時， 成立，結合題型，構造不妨令，得出，利用累加可得結論.

試題解析：(1) 時， ，即，而，所以方程即為.

令，則，而，故方程有唯一的實根.

(2)對于任意的，函數的圖象總在函數圖象的上方，

即， ，即，

設，即， ，則

①若，則， ，這與題設矛盾．

若，方程的判別式，

當，即時，

∴在上單調遞減，

∴，即不等式成立．

當，即時，方程有兩個實根，設兩根為， 且，則

∴方程有兩個正實根且

當時， ， 單調遞增， 與題設矛盾．

綜上所述，實數的取值范圍是.

(3)證明　由(2)知，當時， 時， 成立．

不妨令

∴，即

∴，累加可得