Question

18．設F₁，F₂分別為雙曲線：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點，點F₂關于漸近線的對稱點恰好落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑圓上，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出F₂到漸近線的距離，利用F₂關于漸近線的對稱點恰落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓上，可得直角三角形，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，F₁（-c，0），F₂（c，0），
則F₂到漸近線bx-ay=0的距離為$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=b．
設F₂關于漸近線的對稱點為M，F₂M與漸近線交于A，
∴|MF₂|=2b，A為F₂M的中點，
又O是F₁F₂的中點，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂為直角，
∴△MF₁F₂為直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²，
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，考查勾股定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．